Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, который может быть использован при организации работы спецсеминаров. Гипотеза Римана, 1859 [теория чисел]. Считается, что распределение простых чисел среди натуральных не подчиняется никакой закономерности.
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
| Новый искусственный интеллект генерирует математические гипотезы, которые нужно доказать | В жизни людей широко пользуются понятием среднего арифметического нескольких чисел. Вычисляется оно просто – все числа складываются, и их сумма делится на число слагаемых. |
| Ашкелон | Израиль | Новости сегодня | Îãëàâëåíèå. Ââåäåíèå. 1. 1 Î äåëèìîñòè ÷èñåë. 9. 1.1 Ñâîéñòâà äåëèìîñòè öåëûõ ÷èñåë. . 10. 1.2 Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå è íàèáîëüøèé. îáùèé. |
| теория чисел обнаружена в эволюционной генетике | Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, который может быть использован при организации работы спецсеминаров. |
| «Три миллиона лет на прочтение»: математик рассказал о тайнах числа пи | «Математические заметки», 1975 г. С конца прошлого века при решении задач теории. чисел широкие применения получили методы теории. функций комплексного переменного. |
Теория простых чисел (2023)
Однако организмы должны быть способны переносить некоторые мутации, чтобы сохранить свой характерный фенотип, в то время как генетическая лотерея продолжает раздавать «билеты», которые могут быть или не быть удачными. Эта так называемая мутационная устойчивость порождает генетическое разнообразие. Оно варьируется у разных видов и даже может наблюдаться в белках внутри клеток. Но мы не знали, какой будет абсолютная максимальная возможная надежность и существует ли вообще максимум», — объясняет Луис. В рамках исследования ученые рассмотрели сворачивание белков и структуры малых РНК.
Луис и его коллеги задавались вопросом, насколько близко природа может подойти к верхним границам мутационной устойчивости, поэтому провели численное моделирование.
Доказательство [2] данной теоремы было приведено независимо различными математиками, однако благодаря ему получилось предоставить только очень грубые оценки значений индуцированных чисел Рамсея. В данный момент проблема нахождения сколько-нибудь точных границ индуцированных чисел Рамсея является нерешенной задачей математики. Особенности теории Результаты, полученные в теории Рамсея, обладают двумя главными характеристиками. Во-первых, они не позволяют получить сами структуры: теоремы лишь доказывают, что они существуют, но алгоритма для их нахождения не предлагают.
Отсутствие какой-либо закономерности в их распределении среди бесконечного ряда целых чисел сбивало с толку математиков со времен античной Греции. И вот математики Дэн Голдстон Dan Goldston из университета Сан-Хосе Калифорния и Кем Илдирим Cem Yildirim из университета Богазичи в Стамбуле Турция доказали, что простые числа вне зависимости от их величины могут появляться в ряду простых чисел ближе, чем среднее расстояние между ними. Сообщение об этом было сделано на конференции в Американском математическом институте в г. Пало-Альто , Калифорния. Долгое время математикам не удавалось обнаружить какой-либо систематичности в распределении простых чисел - несмотря на усилия таких светил, как Пьер Ферма, Бернард Риман, Джордж Харди и Пол Эрдос. Новое видение простых чисел не противоречит представлению о том, что их появление носит, в общем-то, случайный характер, однако теперь среди общего беспорядка удалось нащупать скопления этих чисел.
Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, который может быть использован при организации работы спецсеминаров, а также в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел. Большое место в книге занимают вопросы исторического развития теории чисел.
Теория Рамсея
В XVII веке ряд теоретико-числовых проблем был поставлен и решён французским математиком Пьером Ферма, которого можно считать основателем современной теории чисел. Обнаруженные записи были сделаны Рамануджаном в 1919 году практически на смертном одре, примерно через год после обнаружения знаменитого «числа такси» 1729. Целью семинара «Современные проблемы теории чисел» под руководством С. В. Конягина, М. А. Королева и И. Д. Шкредова является привлечение внимания участников к актуальным. Драма. Режиссер: Анна Новион. В ролях: Элла Румпф, Жан-Пьер Дарруссен, Жюльен Фрисон и др. Будущее гениальной студентки факультета математики рушится в один момент: фатальная ошибка в исследовании ставит крест на работе, которой она посвятила все последние годы.
Открытие: "чистая математика" является частью эволюционной генетики
Видео с кружков NlogN 2023-2024 учебного года Подробнее о кружках: Бот для подключения к кружкам: Наш канал в телеграме. 'Бинарные квадратичные формы', Мороз. Б. Б. 03.03.2021г. "Алгебраическая теория чисел", Мороз. Лекции по теории чисел. Г. Хассе. Обнаруженные записи были сделаны Рамануджаном в 1919 году практически на смертном одре, примерно через год после обнаружения знаменитого «числа такси» 1729. Бачинская Елена Евгеньевна рассказа о секретах решения задания 18 профильного ЕГЭ по математике и сделала акцент на теорию, которая необходима для решения задач на числа и. По сути, это лучший результат в теории чисел за последние 50 лет», — считает Иван Фесенко из Ноттингемского университета (Великобритания).
КВАНТОВАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Задача была сверхсложная, вопросы по генетике, эволюции, анатомии, физиологии, а еще нужно было поставить несколько экспериментов. Плюс высокая конкуренция, участвовали почти три сотни ребят из 79 стран. Наши лучшие.
О факторизации в евклидовых кольцах. А, 2020 г. Краткие правила оформления рукописи, направляемой в редакцию журнала "Некоторые исследования в конструктивной теории чисел": Рукопись статьи, посвященной конструктивной теории чисел, направляется в редакцию по электронной почте на указанный электронный адрес редакции либо отпечатанная в 2-х экземплярах на компьютере печатной машинке по обычной почте. Оформлять статью надо аккуратно, а доказывать теоремы леммы ясно и подробно. При написании формул в статье допускаются обычные и курсивные символы русского, латинского, греческого и готического алфавитов. Содержание статьи надо сделать достаточно простым и понятным широкому кругу специалистов по конструктивной теории чисел и алгебре.
Главный редактор журнала "Некоторые исследования в конструктивной теории чисел": кандидат физико-математических наук Куликов Игорь Викторович. Телефон редакции в г. Ростове-на-Дону: 233 89 17, для междугородних звонков по России - 8 863 233 89 17 Адрес редакции: Российская Федерация, г. Ростов-на-Дону, 344092, бульвар Комарова, 9, кв.
Решение уравнений в целых числах.
Трансцендентные и алгебраические числа. Элементарные методы в аналитической теории чисел. Сборник упражнений по теории чисел. Теория иррациональностей третьей степени Труды математического института имени В. Стеклова, Т.
Лекции по теории чисел. Трансцендентность чисел pi и е. Высшая арифметика: Введение в теорию чисел. Элементы теории чисел.
Что за дребедень? Прежде чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нетрадиционном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а именно о суммировании методом Чезаро. Для всех, кто интересуется математикой: суммирование по Чезаро присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле.
Согласно Википедии , «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье используется понятие счётной бесконечности , то есть идёт речь о таком бесконечном множестве чисел, при котором, имея достаточно времени, можно сосчитать до любого числа множества. Это позволяет мне применять в уравнениях некоторые обычные математические свойства, такие как коммутативность аксиома, которую я использую на протяжении всей статьи. Сриниваса Рамануджан Айенгор 1887—1920 , выдающийся индийский математик. Вы не верите мне? Читайте дальше, и узнаете, как я доказываю это путём доказательства истинности двух одинаково безумных утверждений: 1. Настало время перейти к волшебству.
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
Лекции по теории чисел. Г. Хассе. С 5 по 9 июня 2023 года состоится Конференция по алгебре, алгебраической геометрии и теории чисел, посвященная 100-летию со дня рождения Игоря Ростиславовича Шафаревича. 3. Теория чисел: арифметические функции, методы решета, аддитивные задачи с растущим числом слагаемых, «нормальные’’ числа, распределение значений арифметических функций. В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «теория чисел».
Фундаментальное открытие в теории простых чисел
Если Вам скажут, что он сидит в углу, то Вам достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствии этой информации Вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Точно так же, если кто-то сообщит Вам, что число 13717421 можно представить, как произведение двух меньших чисел, непросто быстро убедиться в истинности информации, но если Вам сообщат, что исходное число можно разложить на множители 3607 и 3803, то это утверждение легко проверяется с помощью калькулятора. Это примеры иллюстрируют общее явление: решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема является одной из нерешенных проблем логики и информатики.
Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных. Ее решение составляет одну из главных проблем теории чисел.
Цель проекта: Познакомить участников с жизнью и научным наследием математика Амалии Эмми Нетер, а также развить интерес к теории чисел и математике в целом. Проблема: Недостаток информации и популярности теоремы Эмми Нетер, а также слабый интерес школьников к теории чисел и математике. Целевая аудитория: Школьники, студенты, учителя математики Задачи проекта: Изучение биографии Эмми Нетер, чтение ее научных работ, проведение исследований в области теории чисел, создание презентаций и научных сообщений.
У данного уравнения нет эффектного названия, ибо известно оно давно, и за долгие годы многие математики сумели выполнить его доказательство, что, однако не помешало им считать это уравнение парадоксальным.
Как бы то ни было, оно будоражило умы учёных и даже помогло Эйлеру более широко подойти к решению « базельской проблемы », а также привело к исследованию важных математических функций, таких как дзета-функция Римана. А теперь вишенка на торте, которую вы так долго ждали, — гвоздь программы. Но сейчас вы не сможете удержаться от возгласа «Вау! Следовательно, мы можем вынести этот постоянный множитель за скобки — и вновь прийти к тому, с чего начали! Теперь объясню, почему этот результат важен. Во-первых, он используется в теории струн.
Увы, в её первоначальной версии в теории бозонных струн , а не в версии Стивена Хокинга Stephen Hawking. К сожалению, теория бозонных струн несколько устарела, и сегодня учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн , но исходная теория всё ещё используется для понимания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн. Во-вторых, суммирование по методу Рамануджана оказало большое влияние на развитие общей физики, особенно при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир Hendrik Casimir предсказал, что две незаряженные проводящие пластины, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями.
Информация о журнале: В настоящее время журнал "Некоторые исследования в конструктивной теории чисел" издан с 2009 года до 2020 года включительно см. А, 2018 г. А, 2019 г. Об аналитических и алгебраических методах в науке. О факторизации в евклидовых кольцах. А, 2020 г. Краткие правила оформления рукописи, направляемой в редакцию журнала "Некоторые исследования в конструктивной теории чисел": Рукопись статьи, посвященной конструктивной теории чисел, направляется в редакцию по электронной почте на указанный электронный адрес редакции либо отпечатанная в 2-х экземплярах на компьютере печатной машинке по обычной почте. Оформлять статью надо аккуратно, а доказывать теоремы леммы ясно и подробно. При написании формул в статье допускаются обычные и курсивные символы русского, латинского, греческого и готического алфавитов. Содержание статьи надо сделать достаточно простым и понятным широкому кругу специалистов по конструктивной теории чисел и алгебре.
Ученые обнаружили поразительную связь между теорией чисел и эволюционной генетикой
Как будто она знает о фрактальной функции сумм цифр. Подпишитесь , чтобы быть в курсе. Международная команда ученых открыла существование глубинной связи между функцией от суммы цифр и ключевой величиной в генетике — мутационной устойчивостью фенотипа, которая определяет вероятность появления изменений в совокупности характеристик организма, пишет Phys. Это открытие может иметь важные последствия для эволюционной генетики. Многие генетические мутации нейтральны, то есть могут медленно накапливаться со временем, не влияя на жизнеспособность фенотипа. Эти мутации вызывают изменения генома через определенные отрезки времени. Поскольку скорость появления изменений известна, биологи могут сравнить разницу в цепочках генов между двумя организмами и понять, когда жил их общий предок.
Нерешенная задача Так называемая abc-гипотеза устанавливает фундаментальную связь между сложением и умножением целых чисел. Грубо говоря, abc-гипотеза утверждает примерно следующее: если имеется много простых множителей у двух чисел «a» и «b», то их будет не очень много у значения суммы этих чисел — числа «c». Доказательство abc-гипотезы, в случае его подтверждения, может оказать сильное влияние на всю теорию чисел. Тогда у нас появится новаторский подход, например, к доказательству легендарной теоремы Ферма, сформулированной Пьером де Ферма в 1637 году и доказанной только в 1994 году. Итак, вся эта история началась 30 августа 2012 года, когда известный специалист в области теории чисел Синъити Мотидзуки опубликовал статью в интернете, — правда, не на arXiv. Его статьи, написанные малопонятным и своеобразным стилем, казалось, полностью опираются на математические понятия, которые совершенно незнакомы сообществу математиков, — «как будто читаешь статью, присланную из будущего или из далекого космоса», писал Джордан Элленберг Jordan Ellenberg , специалист по теории чисел из университета Висконсин-Мэдисон, в своем блоге вскоре после появления статей японского ученого. Мотидзуки отклонил все поступившие из-за границы приглашения о том, чтобы прочитать лекции о своих исследованиях. Несмотря на то, что некоторые из его близких сотрудников заявляли о том, что доказательство Мотидзуки корректное, математики во всем мире пытались зачастую с долей скепсиса хоть как-то понять это доказательство, не говоря уж о том, чтобы проверить его. В последующие годы по этой теме проводились конференции, участники которых сообщили даже о частичном понимании доказательства. И все же, по их мнению, потребуется еще много лет, чтобы сделать окончательные выводы. Многие математики, в том числе Герд Фальтингс Gerd Faltings , который консультировал Мотидзуки по докторской диссертации, открыто раскритиковали японского ученого за то, что он не потрудился дать более ясное представление о своих идеях. Через некоторое время, 16 декабря 2017 года, японская газета «Асахи» заявила о том, что в скором времени мы все-таки убедимся в правильности доказательства Мотидзуки, и что это достижение можно приравнять к доказательству теоремы Ферма, найденному в 1994 году. Между тем, ходили слухи, что журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences собирался опубликовать четыре статьи Мотидзуки, однако на тот момент редакторы издания это отрицали. Вскоре спор разгорелся вновь: некоторые математики сетовали, что статьи Мотидзуки, опубликованные в журнале института RIMS, по-прежнему остаются малопонятными. В декабре 2017 года специалист в области математической физики Питер Войт Peter Woit из Колумбийского университета в Нью-Йорке написал в своем блоге, что принятие статьи к публикации в журнале института RIMS создаст ситуацию, которая «не имеет аналогов в истории математики: уважаемый журнал заявит, что он якобы проверил доказательство этой чрезвычайно известной гипотезы, а большинство специалистов в данной области математики тщательно изучали это доказательство и не смогли его понять».
Эта так называемая мутационная устойчивость порождает генетическое разнообразие. Оно варьируется у разных видов и даже может наблюдаться в белках внутри клеток. Но мы не знали, какой будет абсолютная максимальная возможная надежность и существует ли вообще максимум», — объясняет Луис. В рамках исследования ученые рассмотрели сворачивание белков и структуры малых РНК. Луис и его коллеги задавались вопросом, насколько близко природа может подойти к верхним границам мутационной устойчивости, поэтому провели численное моделирование. Они изучили математические особенности того, сколько генетических изменений может соответствовать определенному фенотипу, не изменяя его.
Ученые обнаружили поразительную связь между теорией чисел и эволюционной генетикой Георгий Голованов2 августа 2023 г. На первый взгляд, она может показаться слишком абстрактной, не имеющей отношения к реальности. Однако снова и снова теория чисел находит выражение в теории и практике, от чисел Фибоначчи в природе до методов шифрования. На этот раз ученые продемонстрировали неожиданную связь между теорией чисел и эволюционной генетикой. Благодаря математике они нашли предел мутационной устойчивости фенотипа — ключевой величины в генетике. В некоторых случаях, как установили ученые, природа достигает точного максимума устойчивости, но не переходит эту границу. Как будто она знает о фрактальной функции сумм цифр.
Открытие: "чистая математика" является частью эволюционной генетики
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (pdf). Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. Найдите последние новости теории чисел на сайте WIRED. Смотрите статьи по теме науки и техники, фотографии, слайд-шоу и видео. Рады приветствовать тебя в месте, где царит теория чисел и обсуждаются разные интересные задачи. Мы (нас двое!) математик и программист, которых сложно назвать мастерами ТЧ.
Константин Кноп: Азы теории чисел
Люди нередко путают погоду и климат: удивляются, как ученые могут предрекать изменение климата через сто лет, а прогноз погоды на пять дней может оказаться неправильным. Самули Силтанен качает головой. Невероятно: без изучения происхождения данных и прогнозов люди готовы подвергнуть их сомнениям». Дети читают меньше книг, чем раньше, и, вероятно, решают меньше задач. Эти действия требуют сосредоточенности», — рассуждает Самули Силтанен. Решать задачи с ручкой и бумагой тоже очень важно. И хотя все можно посчитать на калькуляторе, счет в уме позволяет понять больше — в том числе и в повседневных вопросах. По мнению Самули Силтанена, у средней школы есть замечательная возможность объединить математику с другими предметами.
Например, разницу между средним арифметическим и медианой можно наглядно показать и применить в обработке фотографий на компьютере. Однако в идее объединения учебных предметов есть и свои риски. В случае неудачи базовые вопросы останутся без внимания. Почему страны Азии успешнее в математике? В докладе, который Организация экономического сотрудничества и развития ОЭСР публикует один раз в три года в рамках Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся PISA 2016 , страны Азии традиционно занимают первые строчки. В математическом направлении первыми стали Шанхай, Сингапур, Гонконг и Южная Корея; в чтении Шанхай, Гонконг и Южная Корея поделили первые три места; в естественнонаучных знаниях Шанхай, Эстония и Гонконг вошли в первую тройку. Турция по всем направлениям оказалась ниже среднего по ОЭСР уровня.
Эксперты, проанализировавшие доклад PISA, отметили, что обучение математике — это не проблема умственных способностей, а проблема системы и методов. И секрет азиатских тигров, которые с 1990-х годов никому не уступают первенство в международной лиге образования, таится именно в системе. Полученные результаты исследования показывают, что образовательные методы, которые учителя используют на учебных занятиях, играют самую важную роль. Становится понятно, что в странах с успешными результатами в математике преподаватели уделяют намного больше внимания элементарной арифметике, а не математическим понятиям; заметно большее значение придают счету в уме; используются базовые учебники; предпочтение отдается образовательному процессу в классах с большим числом учеников, а не в малых группах. В книге «География мысли» Ричарда Нисбетт Richard Nisbett проводит сравнение между восточными и западными обществами и сопровождает свои рассуждения сведениями о том, как и почему отличаются воззрения жителей Востока и Запада. Нижеприведенный фрагмент этой книги может дать ответ на вопрос, почему страны Азии успешны в математике. Смотри, Дик играет.
Согласно западному менталитету, это самая естественная базовая информация, которая должна быть передана детям. На первой странице китайского учебника для начинающих обучаться грамоте показан маленький мальчик, который сидит на плечах мальчика постарше. Старший брат любит младшего брата. Когда ребенок впервые встречается с печатными словами, важно передать не индивидуальное действие, а отношения между людьми и особенно между братьями. В отличие от азиатской практики, которая учит детей гармонично смешиваться с окружающими, американские дети ходят в школы, где каждый ребенок на один день может стать VIP. Японских детей учат практиковать самокритику, чтобы они могли уметь развивать отношения с другими людьми и обрести навыки решения проблем. Позиция перфекционизма через самокритику сохраняется на всю жизнь.
Никто не считается профессионалом, пока не проработал в своей профессии десять лет. В то время как выходцы с Запада обладают зашкаливающей самоуверенностью и крайне довольны собой, жители Азии продолжают стремиться к самосовершенствованию. В ходе одного эксперимента можно было наблюдать, что канадские учащиеся дольше работали над предложенным им заданием, если оно у них получалось, а японцы — если терпели неудачу. Жители Запада могут добиваться успеха в очень немногих делах — тех, которые у них получилось хорошо начать. При этом жители Востока больше склонны получать навыки по всем вопросам и использовать любую возможность для самосовершенствования. В ходе другого эксперимента специалисты по психологии развития, посетив дома американских и японских семей, попросили родителей поиграть с детьми так, как они это обычно делают. Американки вдвое чаще японок использовали изображения объектов.
Японки вдвое чаще американок прибегали к ситуациям, обучающим нормам вежливости сочувствие и приветствие, например. Ты видишь машину? Тебе нравится? Я даю это тебе. А теперь дай это мне. Если американские дети узнают, что мир — это место, в котором много разных объектов, то для японских детей мир — это в основном отношения. На Западе ребенок с плохими знаниями математики, вероятнее всего, будет считаться лишенным способностей к математике и даже, возможно, к обучению.
На Востоке же предполагается, что такой ребенок должен усерднее трудиться, или же что учитель должен работать больше, а может быть, нужно изменить среду обучения».
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант. Решением этого уравнения является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года.
Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. Диофант нередко упоминается как «отец алгебры».
Он — автор «Арифметики», книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами.
Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны. Основное произведение Диофанта — «Арифметика».
К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет.
Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Но этим дело не ограничивается. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Издание «Арифметики» Диофанта в латинском переводе Баше де Мезириака «Арифметика» Диофанта — это сборник задач их всего 189 , каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов.
Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач. Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он пользуется отрицательными числами. Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до множества рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.
Диофантовы уравнения - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно.
Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. Наверное, самым известным диофантовым уравнением является Его решения - пифагоровы тройки: 3; 4; 5 , 6; 8; 10 , 5; 12; 13 , 12; 35; 37 … Доказательство неразрешимости в целых числах диофантового уравнения Великая теорема Ферма было закончено английским математиком Эндрю Уайлсом в 1994 году. Ещё один пример диофантового уравнеия - уравнение Пелля где параметр n не является точным квадратом.
Большая часть «Арифметики» - это сборник задач с решениями, умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Диофант не даёт никаких общих методов решения задач; данные им решения почти не допускают систематизации.
В значительной степени это объясняется несовершенством символики Диофанта. В новое время «Арифметика» явилась отправной точкой исследований в области теории чисел Ферма, Эйлер.
В результате вычислений немецкий математик получил то же 42-значное число. Числа Дедекинда используют, в частности, в теории алгоритмов и теории графов, но на данный момент их поиск носит скорее фундаментальное значение. Недавно математики, которые занимаются комбинаторикой, сдвинули с мертвой точки оценку для другого числа, имеющего отношение к графам. Математики показали , что верхнюю границу для диагонального числа Рамсея R n,n можно сдвигать вниз относительно известного экспоненциального предела 4n. Правда, в этом случае речь идет об асимптотических оценках, а не вычислении точного значения.
Нашли опечатку? Это самая престижная международная премия в математике, она присуждается раз в четыре года на Международном математическом конгрессе об истории конгрессов читайте в нашем материале «Дело Кантора живет». Рассказываем, чем отличился каждый из них.
Теперь его дело может продолжить алгоритм с машинным обучением. Программа уже смогла придумать более ста гипотез, для нескольких десятков из которых исследователи нашли доказательства. В своей работе авторы сосредоточились на выражениях, включающих различные константы. Алгоритм анализирует множество уравнений с постоянными величинами, а затем ищет в них закономерности. Если программа находит потенциальную гипотезу, то проверяет ее сначала на небольшом наборе чисел, а затем расширяет дальше, после чего предлагает исследователям доказать ту или иную взаимосвязь.
Последние новости в теории чисел
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (pdf). Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. В жизни людей широко пользуются понятием среднего арифметического нескольких чисел. Вычисляется оно просто – все числа складываются, и их сумма делится на число слагаемых. Представляю вашему вниманию собранные в одну статью заметки к циклу занятий математического кружка, посвящённых элементам теории чисел. Горюшкин А. П., “О методике применения современных вычислительных технологий при изучении теории чисел”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 30:1 (2020), 64–71.